第2节 电容器和微积分(修订中)
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电容器不像导体那样具有稳定的“电阻 (opens new window)”。但是，电容器的电压和电流 (opens new window)之间存在明确的数学关系，如下所示：
小写字母“i”代表_瞬时_电流，表示特定时间点的电流量。这与未指定时间段内的恒定电流或平均电流（大写字母“I”）形成对比。“dv/dt”这个表达是从微积分中借来的，意思是电压随时间的瞬时变化率，或电压变化率（伏特每秒增加或减少）在特定时间点，同一特定点瞬时电流被参考的时间。无论出于何种原因，字母_v_通常用于表示瞬时电压，而不是字母_e_。然而，将瞬时电压变化率表示为“de/dt”并没有错。
在这个等式中，我们看到了迄今为止我们在电路方面的经验中的一些新奇事物：_时间_变量。当将电压、电流和电阻的数量与电阻器相关联时，我们处理的是在未指定的时间段（E=IR；V=IR）内进行的测量，还是在特定时刻进行的测量并不重要。时间（e=ir；v=ir）。同样的基本公式也适用，因为时间与电阻器等组件中的电压、电流和电阻无关 (opens new window)。
然而，在电容器中，时间是一个重要变量，因为电流与电压随时间变化的速度_有关。_要完全理解这一点，可能需要一些插图。假设我们将一个电容器连接到一个可变电压源，由一个电位器和一个电池构成：
如果电位器机构保持在单个位置（雨刷静止），则连接在电容器两端的电压表将记录一个恒定（不变）的电压，而电流表将记录 0 安培。在这种情况下，电压变化的瞬时速率 (dv/dt) 等于零，因为电压是不变的。该等式告诉我们，对于 dv/dt 每秒变化 0 伏，瞬时电流 (i) 必须为零。从物理的角度来看，在电压没有变化的情况下，不需要任何电子运动来增加或减少电容器极板的电荷，因此不会有电流。
现在，如果电位器抽头在“向上”方向缓慢而稳定地移动，将逐渐在电容器上施加更大的电压。因此，电压表 (opens new window)指示将以缓慢的速度增加：
如果我们假设电位器抽头的移动使得电容器两端的电压增加_速率_是稳定的（例如，电压以每秒 2 伏的恒定速率增加），则公式的 dv/dt 项将为固定值。根据该等式，dv/dt 的这个固定值乘以电容器的法拉电容（也是固定的），得到一定量级的固定电流。从物理角度来看，电容器两端电压的增加要求极板之间的电荷差增加。因此，对于缓慢、稳定的电压增加速率，电容器中必须有缓慢、稳定的电荷建立速率，这相当于电流的缓慢、稳定流动。在这种情况下，电容器正在充电并充当_负载_，当电容器在电场中积累能量时，电流进入正极板并从负极板流出。
如果电位器以相同的方向移动，但速度更快，电压变化率 (dv/dt) 会更大，电容器的电流也会更大：
当数学学生第一次学习微积分时，他们首先探索各种数学函数_的变化率的概念。_导_数_是第一个也是最基本的微积分原理，是一个变量相对于另一个变量变化率的表达式。微积分学生在学习抽象方程时必须学习这个原理。您可以在学习与您相关的东西时学习此原理：电路！
为了用微积分的形式说明电容器中电压和电流之间的这种关系，通过电容器的电流是电容器两端的电压对时间的_导数。_或者，用更简单的术语来说，电容器的电流与它两端的电压变化的速度成正比。在这个电路中，电容器电压由电位器上的旋钮位置设置，我们可以说电容器的电流与我们转动旋钮的速度成正比。
如果我们要以与之前相同的方向（“向上”）移动电位计的游标，但以不同的速率移动，我们将获得如下图所示：
请注意，在任何给定时间点，电容器的电流都与电容器电压图的变化率或_斜率_成正比。当电压曲线快速上升（陡坡）时，电流同样会很大。在电压图具有温和斜率的地方，电流很小。在电压曲线的某个位置趋于平稳（零斜率，表示电位计不移动的一段时间），电流降至零。
如果我们将电位器抽头朝“下”方向移动，电容器电压会_降低_而不是升高。同样，电容器将通过产生电流来对这种电压变化做出反应，但这一次电流将是相反的方向。降低电容器电压需要减小电容器极板之间的电荷差，唯一可能发生的方法是电流方向反转，电容器放电而不是充电。在这种放电条件下，电流从正极板流出并进入负极板，电容器将充当_电源_，就像电池 (opens new window)一样，将其储存的能量释放到电路的其余部分。
同样，通过电容器的电流量与其两端的电压变化率成正比。降低_电压和_增加_电压的影响之间的唯一区别是电流的_方向。对于相同的电压随时间变化率（增加或减少），电流幅度（安培）将相同。在数学上，降低的电压变化率表示为_负_dv/dt 量。根据公式 i = C(dv/dt)，这将导致电流图 (i) 的符号同样为负，表示对应于电容器放电的流动方向。
相关工作表：