第1节 科学记数法(修订中)
# 1. 计数
在许多科学和工程学科中，必须管理非常大和非常小的数值量。其中一些数量的大小令人难以置信，要么非常小，要么非常大。以质子的质量为例，质子是原子核的组成粒子之一：
质子质量 = 0.00000000000000000000000167 克
或者，考虑在1 安培的稳定电流 (opens new window)下每秒通过电路中某个点的电子数：
1 安培 = 每秒 6,250,000,000,000,000,000 个电子
很多零，不是吗？显然，即使在计算器和计算机的帮助下，必须处理如此多的数字零数字也会变得相当混乱。
请注意这两个数字以及其中非零数字的相对稀疏性。对于质子的质量，我们只有一个“167”，小数点前有 23 个零。对于 1 安培中每秒的电子数，我们有“625”后跟 16 个零。
我们将非零数字的跨度（从第一个到最后一个），加上任何_不仅_用作占位符的零数字，称为任何数字的“有效数字”。
实际测量中的有效数字通常反映了该测量的准确性。例如，如果我们说一辆汽车重 3,000 磅，我们可能并不是说所讨论的汽车的重量_正好是_3,000 磅，而是我们已经将它的重量四舍五入到一个更便于说和记住的值。
3,000 这个四舍五入的数字只有一个有效数字：前面的“3”——零仅用作占位符。然而，如果我们说这辆车重 3,005 磅，重量没有四舍五入到最接近的千磅这一事实告诉我们，中间的两个零不仅仅是占位符，而是数字的所有四位数字“3,005”对其具有代表性的准确性很重要。因此，数字“3,005”据说有_四位_有效数字。
同样，具有许多零位的数字不一定代表真实世界的数量，一直到小数点。当已知情况如此时，可以将这样的数字写成一种数学“速记”，以使其更容易处理。这种“速记”被称为_科学记数法_。
使用科学记数法，数字是通过将其有效数字表示为 1 到 10（或 -1 到 -10，对于负数）之间的数量来编写的，并且“占位符”零由 10 次方乘数表示. 例如：
1 安培 = 每秒 6,250,000,000,000,000,000 个电子
. . . 可以表示为。. .
1 安培 = 6.25 x 10 18电子每秒
10 的 18 次方 (10 18 ) 表示 10 乘以自身 18 次，或“1”后跟 18 个零。乘以 6.25，看起来像“625”后跟 16 个零（取 6.25 并将小数点向右跳过 18 位）。科学记数法的优点是显而易见的：数字写在纸上时不会那么笨拙，有效数字很容易识别。
但是非常小的数字呢，比如质子的质量（以克为单位）呢？我们仍然可以使用科学记数法，除了用负的 10 次方而不是正的，将小数点向左移动而不是向右移动：
质子质量 = 0.00000000000000000000000167 克
. . . 可以表示为。. .
质子质量 = 1.67 x 10 -24克
10 的 -24 次方 (10 -24 ) 表示 10 的倒数 (1/x) 乘以自身 24 次，或前面带有小数点和 23 个零的“1”。乘以 1.67，看起来像“167”前面有一个小数点和 23 个零。就像在一个非常大的数字的情况下一样，人类处理这种“速记”符号要容易得多。与前面的情况一样，这个数量的有效数字被清楚地表达了。
因为有效数字是“单独”表示的，远离 10 的乘数，即使数字看起来很圆，也很容易显示精度水平。以我们 3,000 磅的汽车为例，我们可以用科学计数法表示 3,000 的四舍五入数：
汽车重量 = 3 x 10 3磅
如果汽车实际重达 3,005 磅（精确到最接近的磅），并且我们希望能够表达完全的测量精度，那么科学记数法数字可以这样写：
汽车重量 = 3.005 x 10 3磅
但是，如果这辆车确实重达 3,000 磅，确切地说（精确到磅）怎么办？如果我们以“正常”形式（3,000 磅）写它的重量，则不一定清楚这个数字确实精确到最接近的磅，而不是四舍五入到最接近的千磅或最接近的一百磅，或最接近的十磅。另一方面，科学记数法允许我们证明所有四个数字都是有效的，没有误解：
汽车重量 = 3.000 x 10 3磅
由于在小数点右侧添加额外的零是没有意义的（因为科学记数法不需要额外的占位符零），我们知道这些零对于数字的精度必须很重要。
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