第2节 方波信号 (修订中)
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已经发现，_任何_重复的非正弦波形都可以等同于各种幅度和频率的直流电压、正弦波和/或余弦波（具有 90 度相移的正弦波）的组合。
无论所讨论的波形 (opens new window)多么奇怪或令人费解，这都是正确的。只要它随着时间的推移有规律地重复，它就可以简化为这一系列的正弦波。
特别是，已经发现方波在数学上等价于相同频率的正弦波加上幅度递减的无限系列奇数倍频正弦波的总和：
起初，关于波形的这个真相似乎太奇怪了，令人难以置信。但是，如果方波实际上是无限系列的正弦波谐波相加，那么我们应该能够通过将几个正弦波谐波相加来产生方波的近似值来证明这一点。
这种推理不仅合理，而且用 SPICE 很容易证明。
我们将要模拟的电路只不过是几个具有适当幅度和频率的正弦波交流电压源串联在一起。我们将使用 SPICE 绘制连续添加电压源的电压波形，如下所示：
方波近似于谐波的总和。
在这个特定的 SPICE 仿真中，我将 1 次、3 次、5 次、7 次和 9 次谐波电压源串联起来，总共有五个交流电压源。基频为 50 Hz，每个谐波当然是该频率的整数倍。
幅度（电压）数字不是随机数；相反，它们是通过频率序列中所示的方程得出的（对于每个增加的奇次谐波，分数 4/π 乘以 1、1/3、1/5、1/7 等）。
构建方波
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1 次谐波 (50 Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 三次谐波
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5 次谐波
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7 次谐波
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9 次谐波
r1 5 0 10k
.tran 1m 20m
.plot tran v(1,0) 绘制一阶谐波
.plot tran v(2,0) 绘制 1 次 + 3 次谐波
.plot tran v(3,0) 绘制 1 次 + 3 次 + 5 次谐波
.plot tran v(4,0) 绘制 1 次 + 3 次 + 5 次 + 7 次谐波
.plot tran v(5,0) 绘制 1st + 。. . + 9 次谐波
。结尾
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我将从这里逐步叙述分析，解释我们正在查看的内容。在第一个图中，我们看到了 50 Hz 的基频正弦波。它只是一个纯正弦形状，没有额外的谐波内容。这是理想交流电源产生的波形：
纯 50 Hz 正弦波。
接下来，我们看看当这个干净简单的波形与三次谐波（3 倍 50 Hz 或 150 Hz）结合时会发生什么。突然，它看起来不再像一个干净的正弦波了：
第 1 (50 Hz) 和第 3 (150 Hz) 谐波之和近似为 50 Hz 方波。
现在正负周期之间的上升和下降时间要陡峭得多，波峰更接近像方波一样平坦。观察当我们添加下一个奇次谐波频率时会发生什么：
1 次、3 次和 5 次谐波之和近似于方波。
这里最明显的变化是波峰变得更加平坦。波的每一端都有更多的波峰和波峰，但这些波峰和波峰的幅度比以前要小。再次观察，我们将下一个奇次谐波添加到混音中：
1 次、3 次、5 次和 7 次谐波之和近似于方波。
在这里，我们可以看到波浪在每个峰值处变得更平坦。最后，在我们的电路中加入第 9 次谐波，即第 5 个正弦波电压源，我们得到以下结果：
1 次、3 次、5 次、7 次和 9 次谐波之和近似于方波。
将前五个奇次谐波波形加在一起的最终结果（当然，都在适当的幅度）是方波的近似值。这样做的目的是为了说明我们如何从多个不同频率的正弦波构建方波，以证明纯方波实际上等同于_一系列_正弦波。
当将方波交流电压施加到具有电抗元件（电容器和电感器）的电路时，这些元件的反应就好像它们暴露在几个不同频率的正弦波电压下一样，事实上它们确实如此。
重复的非正弦波等效于一定系列的加性直流电压、正弦波和/或余弦波这一事实是波如何工作的结果：所有与波相关的现象的基本属性，无论是电的还是其他的。
将非正弦波减少为这些组成频率的数学过程称为_傅里叶分析_，其细节远远超出了本文的范围。然而，已经创建了计算机算法来对真实波形进行高速分析，并且其在交流电能质量和信号分析中的应用非常广泛。
_SPICE 能够对波形进行采样，并通过傅里叶变换_算法将其减少为组成正弦波谐波，将频率分析输出为数字表。让我们在方波上试试这个，我们已经知道它是由奇次谐波正弦波组成的：
方波分析网表
v1 1 0 脉冲（-1 1 0 .1m .1m 10m 20m）
r1 1 0 10k
.tran 1m 40m
.plot tran v(1,0)
.4 50 v(1,0)
。结尾
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描述电压源v1的网表行中的_脉冲_选项指示 SPICE 模拟方形“脉冲”波形，在这种情况下，它是对称的（每个半周期的时间相等）并且峰值幅度为 1 伏。首先，我们将绘制要分析的方波：
用于 SPICE 傅里叶分析的方波
接下来，我们将打印 SPICE 为这个方波生成的傅里叶分析：
瞬态响应 v(1) 的傅立叶分量
直流分量 = -2.439E-02
谐波频率傅里叶归一化相位归一化
无 (hz) 分量 分量 (deg) 相位 (deg)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
总谐波失真 = 43.805747%
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傅立叶分析结果图。
在这里，（上图）SPICE 已将波形分解为高达 9 次谐波的正弦频率频谱，以及标记为DC 分量的小 DC 电压。
我必须告知 SPICE 基频（对于周期为 20 毫秒的方波，此频率为 50 Hz），因此它知道如何对谐波进行分类。请注意所有偶次谐波（第 2、第 4、第 6、第 8 次）的数字有多小，以及奇次谐波的幅度如何减小（第 1 次最大，第 9 次最小）。
这种“傅里叶变换”技术通常用于计算机化电力仪表，对交流波形进行采样并确定其谐波含量。一种常见的计算机算法（执行任务的程序步骤序列）是_快速傅立叶变换_或_FFT_函数。
您不必关心这些计算机例程的确切工作方式，但要了解它们的存在和应用。
SPICE 中用于分析波的谐波含量的相同数学技术可以应用于音乐的技术分析：将任何特定的声音分解为其组成的正弦波频率。
事实上，您可能已经看到了一种专门为此而设计的设备，但您并没有意识到它是什么！_图形均衡器_是一种高保真立体声设备，可控制（有时显示）音乐谐波内容的性质。
配备多个旋钮或滑动杆，均衡器能够选择性地衰减（降低）音乐中某些频率的幅度，以“定制”声音以使听众受益。通常，每个控制杆旁边都会有一个“条形图”显示，显示每个特定频率的幅度。
高保真音频图形均衡器。
严格用于显示（而非控制）混合频率信号的每个频率范围的幅度的设备通常称为_频谱分析仪_。
频谱分析仪的设计可能很简单，就像一组“滤波器”电路（详见下一章），旨在将不同的频率相互分离，也可能像运行 FFT 算法的专用数字计算机一样复杂。在数学上将信号分解为其谐波分量。
频谱分析仪通常设计用于分析极高频信号，例如由无线电发射器和计算机网络硬件产生的信号。在这种形式下，它们通常具有类似于示波器的外观：
频谱分析仪将幅度显示为频率的函数。
与示波器一样，频谱分析仪使用 CRT（或模仿 CRT 的计算机显示器）来显示信号图。
与示波器不同，此图是幅度随_频率_变化，而不是幅度随_时间变化_。本质上，频率分析仪为操作员提供了信号的波特图：工程师可能称之为_频_域分析，而不是_时域_分析。
术语“域”是数学的：描述图形水平轴的复杂词。因此，示波器的幅度（垂直）随时间（水平）的图是“时域”分析，而频谱分析仪的幅度（垂直）随频率（水平）的图是“频域”分析。
当我们使用 SPICE 在一定频率范围内绘制信号幅度（电压或电流幅度）时，我们正在执行_频域_分析。
请注意上次 SPICE 仿真的傅立叶分析并非“完美”。理想情况下，所有偶次谐波的幅度应绝对为零，直流分量也应如此。同样，这与其说是 SPICE 的怪癖，不如说它是一般波形的属性。
可以以绝对精度分析无限持续时间（无限循环数）的波形，但是计算机可用于分析的循环越少，分析的精确度就越低。只有当我们有一个完整地描述波形的方程时，傅里叶分析才能将其简化为一系列确定的正弦波形。
波循环的次数越少，它的频率就越不确定。将这个概念推向其逻辑极端，一个短脉冲——甚至没有完成一个周期的波形——实际上_没有频率_，而是充当无限范围的频率。这个原理对_所有_基于波的现象都是通用的，而不仅仅是交流电压和电流。
只需说周期数和波形频率分量的确定性直接相关即可。
我们可以通过让波连续振荡多个周期来提高我们分析的精度，结果将是更符合理想的频谱分析。在下面的分析中，为了简洁起见，我省略了波形图——它只是一个非常长的方波：
方波
v1 1 0 脉冲（-1 1 0 .1m .1m 10m 20m）
r1 1 0 10k
.option 限制=1001
.tran 1m 1
.plot tran v(1,0)
.4 50 v(1,0)
。结尾
瞬态响应 v(1) 的傅立叶分量
直流分量 = 9.999E-03
谐波频率傅里叶归一化相位归一化
无 (hz) 分量 分量 (deg) 相位 (deg)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399
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改进的傅立叶分析。
请注意该分析（上图）如何显示每个偶次谐波频率正弦波的直流分量电压和幅度较低，这一切都是因为我们让计算机对波形的更多周期进行采样。同样，第一次分析的不精确与其说是 SPICE 中的缺陷，不如说是波和信号分析的基本属性。
# 1. 总结
- 方波等价于以相同（基波）频率添加到幅度递减的无限系列奇数倍正弦波谐波的正弦波。
- 存在能够对波形进行采样并确定其组成正弦分量的计算机算法。傅里叶变换_算法（特别是快速_傅里叶变换_或_FFT）通常用于计算机电路仿真程序（如 SPICE）和用于确定电能质量的电子计量设备中。
相关练习：
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