第5节 复数的极坐标形式和矩形形式符号(修订中)
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为了在不绘制向量的情况下处理 (opens new window)复数 (opens new window)，我们首先需要某种标准的数学符号。复数符号有两种基本形式：极坐标_和_矩形。 (opens new window)
# 0.1. 复数的极坐标形式
极坐标形式是复数由_长度_（也称为_幅值_、绝对值_或_模数）和其矢量的_角度_（通常用如下所示的角度符号表示：∠）表示。
使用地图类比，从纽约市到圣地亚哥的矢量的极坐标表示法类似于“西南 2400 英里”。以下是向量及其极性符号的两个示例：
带有极性符号的向量。
交流电路计算中矢量角度的标准方向将 0° 定义为向右（水平），即向上 90°、向左 180°、向下 270°。请注意，“向下”角度的向量可以以极坐标形式将角度表示为大于 180 的正数或小于 180 的负数。
例如，角度为 ∠ 270°（直下）的向量也可以说具有 -90° 的角度。（下图）上面右边的向量（7.81∠230.19°）也可以表示为7.81∠-129.81°。
矢量指南针。
# 0.2. 复数的矩形形式
另一方面，矩形形式是复数由其各自的水平和垂直分量表示的地方。本质上，角度矢量被视为直角三角形的斜边，由相邻边和相对边的长度来描述。
它不是通过表示大小和角度来描述向量的长度和方向，而是用“左/右多远”和“上/下多远”来描述。
这些二维图形（水平和垂直）由两个数字表示。为了区分水平和垂直维度，垂直维度以小写“i”（纯数学）或“j”（电子学）作为前缀。
这些小写字母不代表物理变量（例如瞬时电流，也用小写字母“i”表示），而是用于区分矢量垂直分量和水平分量的数学_运算符。_作为一个完整的复数，水平和垂直量写成一个和：（下图）
在“矩形”形式中，向量的长度和方向以其水平和垂直跨度表示，第一个数字表示水平（“实数”），第二个数字（带有“j”前缀）表示垂直（“虚数”） “） 方面。
水平分量称为_实_分量，因为该维度与正常的标量（“实数”）数兼容。垂直分量被称为_虚_分量，因为该维度位于不同的方向，与实数的比例完全不同。（下图）
显示实轴和虚轴的矢量罗盘。
图表的“实”轴对应于我们之前看到的熟悉的数轴：它上面有正值和负值。图表的“假想”轴对应于与“真实”轴成 90° 的另一条数轴。
向量是二维的东西，我们必须有一个二维的“地图”来表达它们，因此两条数字线相互垂直：（下图）
带有实数和虚数 (“j”) 数线的矢量罗盘。
# 0.3. 从极坐标形式转换为矩形形式
任何一种表示法都对复数有效。有两种表示法的主要原因是为了便于手写计算，矩形形式适合加减法，极坐标形式适合乘法和除法。
两种符号形式之间的转换涉及简单的三角函数。要将极坐标转换为矩形，请通过将极坐标幅度乘以角度的余弦来找到实部，通过将极坐标幅度乘以角度的正弦来找到虚部。
这可以通过将数量绘制为直角三角形的边来更容易理解，三角形的斜边表示矢量本身（其长度和相对于水平的角度构成极坐标形式），水平和垂直边表示“分别为实数和虚数矩形分量：（下图）
以实数 (4) 和虚数 (j3) 分量表示的幅度向量。
# 0.4. 从矩形转换为极坐标
要从矩形转换为极坐标，通过使用勾股定理 (opens new window)找到极坐标（极坐标是直角三角形的斜边，实部和虚部分别是相邻边和对边），角度为取虚部除以实部的反正切：
# 总结
- _极_坐标表示法表示一个复数，其向量的长度和从起点开始的角度方向。示例：飞行 45 英里 ∠ 203°（西偏西南）。
- _矩形_符号表示一个复数的水平和垂直维度。示例：向西行驶 41 英里，然后转身向南行驶 18 英里。
- 在矩形表示法中，第一个量是“实”分量（向量的水平维度），第二个量是“虚”分量（向量的垂直维度）。虚数部分前面有一个小写的“j”，有时称为_j 运算符_。
- 复数的极坐标和矩形表示法都可以以直角三角形的形式在图形上相关，斜边表示向量本身（极坐标形式：斜边长度 = 幅度；相对于水平边的角度 = 角度），水平边代表矩形“实”分量，垂直边代表矩形“虚”分量。
相关练习：