第3节 网状电流法与分析(修订中)
[TOC]
网格电流法，也称为_回路电流法_，与支路电流法非常相似，因为它使用联立方程、基尔霍夫电压定律和欧姆定律 (opens new window)来确定网络中的未知电流。它与分支电流法的不同之处在于它不_使用_基尔霍夫电流定律，并且它通常能够求解具有较少未知变量和较少联立方程的电路，如果您被迫在没有计算器的情况下求解，这尤其好。
# 1. 网状电流，常规方法
让我们看看这个方法是如何处理同一个示例问题的：
# 2. 识别循环
网格电流方法的第一步是识别电路中包含所有组件的“回路”。在我们的示例电路中，由 B 1、R 1和 R 2形成的回路将是第一个回路，而由 B 2、R 2和 R 3形成的回路将是第二个回路。Mesh Current 方法最奇怪的部分是设想每个回路中的循环电流。事实上，这种方法得名于这些电流在循环之间像旋转齿轮组一样啮合在一起的想法：
每个电流方向的选择完全是任意的，就像在分支电流方法中一样，但是如果电流通过相交分量流向相同的方向（注意电流 I 1和 I 2都是如何流向“向上”通过电阻器 R 2，它们在此处“啮合”或相交）。如果网状电流的假定方向错误，则该电流的答案将为负值。
# 3. 标记电压降极性
下一步是根据网格电流的假定方向标记电阻器上的所有电压降极性。请记住，电阻器的“上游”端始终为负，而电阻器的“下游”端相对于彼此为正，因为电子带负电。当然，电池极性由它们在图中的符号方向决定，并且可能与电阻器极性“一致”，也可能不“同意”（假设的电流方向）：
使用基尔霍夫电压定律，我们现在可以绕过这些回路中的每一个，生成代表组件电压降和极性的方程。与分支电流法一样，我们将电阻 (opens new window)的电压降表示为电阻（以欧姆为单位）与其各自的网状电流（此时该数量未知）的乘积。在两个电流啮合在一起的情况下，我们将把该项写在方程中，电阻电流是两个啮合电流的_总和_。
# 4. 用方程跟踪电路的左环
跟踪电路的左环，从左上角开始逆时针移动（起点和方向的选择最终无关紧要），就像我们手里拿着一个电压表一样计算极性，红色引线在前面和黑色铅在后面的点上，我们得到这个等式：
请注意，等式的中间项使用网状电流 I 1和 I 2的总和作为通过电阻器 R 2的电流。这是因为网格电流 I 1和 I 2通过 R 2的方向相同，因此相互补充。将 2 的系数分配给 I 1和 I 2项，然后将方程中的I 1项结合起来，我们可以简化为：
此时我们有一个带有两个未知数的方程。为了能够求解两个未知的网格电流，我们必须有两个方程。如果我们跟踪电路的另一个回路，我们可以获得另一个 KVL 方程，并且有足够的数据来求解两个电流。我是习惯的生物，我将从右循环的左上角开始逆时针追踪：
像以前一样简化方程，我们最终得到：
# 5. 解决未知数
现在，通过两个方程，我们可以使用几种方法之一来数学求解未知电流 I 1和 I 2：
# 6. 重绘电路
知道这些解决方案是_网状_电流的值，而不是_支路_电流的值，我们必须回到我们的图表，看看它们如何组合在一起以提供通过所有组件的电流：
I 2的 -1 amp 解意味着我们最初假设电流方向不正确。实际上，I 2以（正）1 amp 的值为逆时针方向流动：
由于电流 I 2，电流方向与最初假设的变化将改变 R 2和 R 3两端的电压降的极性。从这里，我们可以说通过 R 1的电流是 5 安培，R 1上的电压降是电流和电阻的乘积 (E=IR)，20 伏特（左侧为正，右侧为负）。
此外，我们可以肯定地说，通过 R 3的电流为 1 安培，电压降为 1 伏 (E=IR)，左侧为正，右侧为负。但是 R 2发生了什么？
网格电流I 1通过R 2 “下降” ，而网格电流I 2通过R 2 “上升” 。要确定通过 R 2的实际电流，我们必须查看网格电流 I 1和 I 2如何相互作用（在这种情况下，它们是相反的），并将它们代数相加以得出最终值。由于 I 1在 5 安培时“下降”，而 I 2在 1 安培时“上升”，通过 R 2的_实际_电流必须为 4 安培，“下降”：
通过 R 2的 2 Ω 电阻的 4 安培电流为我们提供了 8 伏 (E=IR) 的电压降，顶部为正，底部为负。
# 7. 网状电流分析的优势
网格电流分析的主要优点是它通常允许求解具有较少未知值和较少联立方程的大型网络。我们的示例问题使用三个方程来求解分支电流方法，而使用网格电流方法仅使用两个方程。随着网络复杂性的增加，这种优势会更大：
要使用分支电流解决这个网络，我们必须建立五个变量来解释电路中的每个独特电流（I 1到 I 5）。这将需要五个方程来求解，形式为两个 KCL 方程和三个 KVL 方程（节点处的 KCL 有两个方程，每个回路中的 KVL 有三个方程）：
我想如果你没有什么比用五个方程求解五个未知变量更好的事情了，你可能不介意对这个电路使用分支电流分析方法。对于我们这些_有_更好的时间做事的人来说，网格电流方法要容易得多，只需要三个未知数和三个方程来求解：
使用较少的方程是一个决定性的优势，尤其是在手动执行联立方程求解时（没有计算器）。
# 8. 不平衡惠斯通电桥
另一种适合网状电流的电路是不平衡惠斯通电桥。以这个电路为例：
由于 R 1 /R 4和 R 2 /R 5的比率不相等，我们知道电阻器 R 3两端会有电压，以及一定量的电流通过它。正如本章开头所讨论的那样，这种类型的电路无法通过普通的串并联分析来简化，只能通过其他方法进行分析。
我们可以将分支电流法应用于该电路，但它需要_六个_电流（I 1到 I 6），导致需要求解大量联立方程组。但是，使用网格电流方法，我们可以用更少的变量求解所有电流和电压。
# 9. 绘制网格
网格电流方法的第一步是抽取足够的网格电流来考虑电路中的所有组件。看看我们的桥电路，应该很明显地放置其中两个电流：
当然，这些网格电流的方向是任意的。然而，在这个电路中，两个网状电流是不够的，因为 I 1和 I 2都不流过电池。因此，我们必须添加第三个网格电流 I 3：
在这里，我选择了 I 3从电池的底部循环，通过 R 4，通过 R 1，然后回到电池的顶部。这不是我可以为 I 3选择的唯一路径，但它似乎是最简单的。
# 10. 标记电阻器电压降极性
现在，我们必须按照每个假设的电流方向标记电阻器的电压降极性：
请注意这里非常重要的一点：在电阻器 R 4处，各个网状电流的极性不一致。这是因为这些网状电流（I 2和 I 3）以不同的方向通过 R 4。这并不排除使用网格电流分析方法，但它确实有点复杂。虽然稍后，我们将展示如何避免 R 4电流冲突。（见下面的例子）
# 11. 使用 KVL
为桥的顶部环路生成 KVL 方程，从顶部节点开始并沿顺时针方向跟踪：
在这个等式中，我们用它们通过公共电阻的_总和_来表示电流的公共方向。例如，电阻器 R 3的阻值为 100 Ω，其电压降在上述 KVL 方程中由表达式 100(I 1 + I 2 ) 表示，因为电流 I 1和 I 2都从右侧流过 R 3向左。电阻器 R 1也可以这样说，其电压降表达式显示为 150(I 1 + I 3 )，因为 I 1和 I 3都是从下到上通过该电阻器的，因此可以_一起工作_产生其电压降。
为电桥的底部环路生成 KVL 方程并不容易，因为我们有两个电流通过电阻器 R 4相互对抗。这是我的做法（从右侧节点开始，逆时针跟踪）：
请注意等式原始形式中的第二项如何具有电阻器 R 4的 300 Ω 值乘以I 2和 I 3之间的_差_(I 2 - I 3 )。这就是我们如何表示通过同一组件的两个相反方向的网状电流的组合效应。在这里选择适当的数学符号非常重要：300(I 2 - I 3 ) 与 300(I 3 - I 2 )的含义不同。我选择写 300(I 2 - I 3 ) 因为我首先想到的是 I 2的影响（产生正电压降，用虚拟电压表测量 R 4，红色引线在底部，黑色引线在顶部），其次是 I 3效应（产生负电压降，红色引线在底部和顶部的黑色铅）。如果我首先考虑 I 3的影响，其次考虑 I 2的影响，将我的虚拟电压表引线保持在相同的位置（底部为红色，顶部为黑色），表达式将是 -300（I 3 - 我2 )。请注意，此表达式_在_数学上等价于第一个表达式：+300(I 2 - I 3 )。
好吧，这处理了两个方程，但我仍然需要第三个方程来完成我的三个变量的联立方程组，三个方程。第三个方程还必须包括电池电压，到目前为止，这两个方程都没有出现在前面的两个 KVL 方程中。为了生成这个方程，我将用我的假想电压表从电池的底部（负极）端子开始，顺时针步进（同样，我步进的方向是任意的，不需要与方向相同）再次跟踪一个循环该回路中的网状电流）：
# 12. 解决当前问题
使用我们喜欢的任何联立方程方法求解 I 1、 I 2和 I 3 ：
**示例：**使用 Octave从上述简化形式的方程中找到 I 1、I 2和 I 3的解。
**解决方案：**在开源 Matlab® 克隆 Octave 中，将系数输入方括号之间的 A 矩阵，列元素以逗号分隔，行元素以分号分隔。在列向量中输入电压： b．未知电流：I 1、2和 I 3由以下命令计算：x=A\b。这些包含在 x 列向量中。
八度：1>A = [300,100,150;100,650,-300;-150,300,-450]
一个=
300 100 150
100 650 -300
-150 300 -450
八度：2> b = [0;0;-24]
b =
0
0
-24
八度：3> x = A\b
x =
-0.093793
0.077241
0.136092
2
3
4
5
6
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8
9
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I 1的负值告诉我们该网格电流的假定方向不正确。因此，通过每个电阻器的实际电流值如下：
计算每个电阻器上的电压降：
SPICE 仿真证实了我们电压计算的准确性：
不平衡惠斯通电桥
v1 1 0
r1 1 2 150
r2 1 3 50
r3 2 3 100
r4 2 0 300
r5 3 0 250
.dc v1 24 24 1
.print dc v(1,2) v(1,3) v(3,2) v(2,0) v(3,0)
。结尾
v1 v(1,2) v(1,3) v(3,2) v(2) v(3)
2.400E+01 6.345E+00 4.690E+00 1.655E+00 1.766E+01 1.931E+01
2
3
4
5
6
7
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例子：
(a) 为电流 I 3找到一条新路径，与 I 1或 I 2相比，该路径不会在任何电阻上产生冲突的极性。R 4是有问题的组件。(b) 找出 I 1、I 2和 I 3的值。(c) 找出五个电阻电流并将它们与之前的值进行比较。
解决方案：
(a) 路线 I 3通过 R 5、 R 3和 R 1，如图所示：
请注意，R 4上的冲突极性已被删除。此外，没有其他电阻器 (opens new window)具有相互冲突的极性。
(b) Octave，一个开源（免费）的 Matlab 克隆，在“x”处产生一个网格电流向量：
八度：1> A = [300,100,250;100,650,350;-250,-350,-500]
一个=
300 100 250
100 650 350
-250 -350 -500
八度：2> b = [0;0;-24]
b =
0
0
-24
八度：3> x = A\b
x =
-0.093793
-0.058851
0.136092
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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由于回路路径不同，并非所有电流 I 1、I 2和 I 3都与前一个桥接器相同 (I 2 ) 但是，电阻器电流与前一个值相比：
IR1 = I1 + I3 = -93.793 ma + 136.092 ma = 42.299 ma
IR2 = I1 = -93.793 毫安
IR3 = I1 + I2 + I3 = -93.793 ma -58.851 ma + 136.092 ma = -16.552 ma
IR4 = I2 = -58.851 毫安
IR5 = I2 + I3 = -58.851 ma + 136.092 ma = 77.241 ma
2
3
4
5
6
7
由于电阻器电流与之前的值相同，因此电阻器电压将相同，无需再次计算。
审查：
- “网状电流”分析方法要遵循的步骤：
- (1) 在电路的回路中绘制网状电流，足以考虑所有组件。
- (2) 根据网格电流的假定方向标记电阻器电压降极性。
- (3) 为电路的每个回路写出 KVL 方程，在方程的每个电阻项中用乘积 IR 代替 E。如果两个网格电流通过一个组件相交，则表示电流为这两个网格电流的代数和（即 I 1 + I 2），如果电流以相同方向流过该组件。如果不是，则表示当前的差值（即 I 1 - I 2）。
- (4) 求解未知的网格电流（联立方程）。
- (5) 如果任何解为负，则假定的电流方向是错误的！
- (6) 代数添加网格电流以找到共享多个网格电流的电流分量。
- (7) 求解所有电阻器上的电压降 (E=IR)。
# 13. 目视电流
我们再看一下所有电流顺时针 (cw) 运行的“网格电流法”。其动机是通过忽略电阻电压降极性来简化网格方程的编写。但是，我们必须注意电压源相对于假定电流方向的极性。电阻电压降的符号将遵循固定模式。
如果我们为下面的电路编写一组传统的网格电流方程，我们确实注意电阻两端的电压降的符号，我们可以将系数重新排列为固定模式：
一旦重新排列，我们可以通过检查写出方程。系数的符号遵循上面一对中的固定模式或下面规则中的三个集合。
网格电流规则：
- 该方法假设传统的电流电压源。将任何与电阻并联的电流源替换为与等效电阻串联的等效电压源。
- 忽略电阻器上的电流方向或电压极性，绘制逆时针方向的电流回路，遍历所有组件。避免嵌套循环。
- 根据未知电流写出电压定律方程：I 1、I 2和 I 3。等式 1 系数 1、等式 2、系数 2 和等式 3 系数 3 是各个环路周围电阻的正和。
- 所有其他系数都是负数，代表一对回路共有的电阻。方程 1 系数 2 是回路 1 和 2 的公共电阻，系数 3 是回路 1 和 3 的公共电阻。对其他方程和系数重复此操作。
- +（R 循环 1 的总和）I1 -（普通 R 循环 1-2）I2 -（普通 R 循环 1-3）I3 = E1
-（普通 R 循环 1-2）I1 +（R 循环 2 的总和）I2 -（普通 R 回路 2-3）I3 = E2
-（普通 R 回路 1-3）I1 -（普通 R 回路 2-3）I2 +（R 回路之和 3）I3 = E3 - 等式的右侧等于电子电流流动电压源。相对于逆时针假定电流的电压上升是正的，0 表示没有电压源。
- 求解网格电流方程：I 1、I 2和 I3。用 KCL 求解通过单个电阻器的电流。使用欧姆定律和 KVL 求解电压。
虽然上述规则特定于三网格电路，但这些规则可以扩展到更小或更大的网格。下图说明了规则的应用。这三个电流都以相同的方向顺时针方向绘制。为三个循环中的每一个编写一个 KVL 方程。请注意，电阻器上没有极性。我们不需要它来确定系数的符号。尽管我们确实需要注意电压源相对于电流方向的极性。I 3顺时针电流从l24V电源的（+）正极流出，然后返回（-）终端。这是传统电流的电压上升。因此，第三个等式右边是-24V。
在 Octave 中，将系数输入到 A 矩阵中，列元素以逗号分隔，行元素以分号分隔。将电压输入列向量 b。使用以下命令求解未知电流：I 1、I 2和 I 3：x=A\b。这些电流包含在 x 列向量中。正值表示三个网格电流都沿假定的顺时针方向流动。
八度：2> A=[300,-100,-150;-100,650,-300;-150,-300,450]
一个=
300 -100 -150
-100 650 -300
-150 -300 450
八度：3> b=[0;0;24]
b =
0
0
24
八度：4> x=A\b
x =
0.093793
0.077241
0.136092
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网格电流通过不同的网格电流方法匹配先前的解决方案。电阻电压和电流的计算将与之前的解决方案相同。无需在此重复。
请注意，电气工程教科书是基于常规电流的。这些文本中的回路电流、网格电流方法将顺时针运行假定的网格电流。常规电流通过电路从电池的（+）端流出，返回到（-）端。传统的电流-电压上升对应于通过任何电压源跟踪从 (-) 到 (+) 的假定电流。
以下是先前电路的另一个示例。环路 1 周围的电阻为 6 Ω，环路 2 周围：3 Ω。两个回路的共同电阻为 2 Ω。注意这对方程中 I 1和 I 2的系数。从(+)到(-)追踪通过B 1的假定顺时针回路1电流对应于电子电流流动电压上升。
因此，28 V 的符号为正。回路 2 逆时针假设电流轨迹 (-) 到 (+) 通过 B 2，即电压降。因此，B 2的符号为负，在第二个网格方程中为-7。再一次，电阻器上没有极性标记。他们也没有考虑到方程式。
电流 I 1 = 5 A 和 I 2 = 1 A 都是正的。它们都沿顺时针循环的方向流动。这与之前的结果相比。
# 14. 总结
- 修改后的网格电流方法避免了通过顺时针绘制常规电流的所有网格电流来确定方程系数的符号。
- 但是，我们确实需要确定环路中任何电压源的符号。如果假定的 ccw 电流随电池（源）流动，则电压源为正。如果假定的逆时针电流流向电池，则符号为负。
- 有关详细信息，请参阅上面的规则。
相关练习：